Rabu, 02 Maret 2011


Teman-teman ada yang kesulitan memahami FPB dan KPK?  disini ada banyak cara untuk memahaminya. Mari kita belajar!!

Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)  dari dua bilangan adalah bilangan bulat positif terkecil yang dapat dibagi habis oleh kedua bilangan itu.
Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif terbesar yang membagi habis kedua bilangan tersebut.

1. Bagaimana mencari faktor persekutuan terbesar (FPB) ?

Ada beberapa cara / metode untuk menemukan faktor persekutuan terbesar. Di bawah ini adalah beberapa di antaranya :
* Mencari faktor prima
* Pembagian dengan bilangan prima
* Algoritma Euclid

Sebagai contoh, marilah kita cari FPB dari 24 dan 60.
a. Mencari faktor prima
    Untuk menggunakan metode ini, pertama-tama, carilah dulu faktor-faktor prima dari    
    masing-masing bilangan.
       * 24 = 2 × 2 × 2 × 3
       * 60 = 2 × 2 × 3 × 5
    Lalu, kita cari faktor prima persekutuan dari kedua bilangan tersebut.
       *24 = 2 × 2 × 2 × 3
       *60 = 2 × 2 × 3 × 5
    Faktor prima persekutuannya adalah 2, 2, dan 3. 
    Jadi Faktor persekutuan terbesar (FPB) dari 24 dan 60 adalah hasil perkalian dari faktor 
    prima persekutuan, yaitu 2 × 2 × 3 = 12.

    Atau lihat cara sederhana mencari FPB dari 12 dan 20:
  • Faktor dari 12 = 1, 2, 3, 4, 6 dan 12
  • Faktor dari 20 = 1, 2, 4, 5, 10 dan 20
  • FPB dari 12 dan 20 adalah faktor sekutu (sama) yang terbesar, yaitu 4.
b. Pembagian dengan bilangan prima
    * Bagilah kedua bilangan dengan bilangan prima terkecil yang dapat membagi keduanya.
    * Lanjutkan dengan langkah-langkah yang sama sampai tidak ada lagi bilangan prima yang
      dapat membagi bilangan yang ada di sebelah kanan. 
    * Atau dengan membuat pohon faktor 
      Contoh  : mencari FPB dari bilangan 147, 189 dan 231

        147         189             231
         /\            /\               /\
        3 49        3  63           3  77
           /\            /\                /\
          7  7         7  9              7  11
                            /\
                           3  3 
Susun bilangan dari pohon faktor utk mendapatkan faktorialnya:
       Faktorial 147 = 31 x 72
       Faktorial 189 = 33 x 71
       Faktorial 231 = 31 x 71 x 111
  • Ambil faktor-faktor yang sekutu (sama) dari ketiga faktorial tersebut, dalam hal ini 37. dan
  • Kalikan faktor-faktor sekutu yang memiliki pangkat terkecil, dalam hal ini 31 x 71 = 21.
  • Maka FPB dari bilangan 147, 189 dan 231 adalah 21. Dengan kata lain, tidak ada bilangan yang lebih besar dari 21 yang dapat membagi habis bilangan 147, 189 dan 231.
c. Algoritma Euclid
    Algoritma ini mencari FPB dengan cara melakukan pembagian yang berulang-ulang yang   
    dimulai dari kedua bilangan yang hendak kita cari FPB nya sampai kita mendapatkan sisa  
    0 dari hasil pembagian.

Misalnya untuk 24 dan 60, langkah-langkah yang diambil untuk mencari FPB dengan Algoritma Euclid adalah :

* Bagilah bilangan yang lebih besar dengan bilangan yang lebih kecil. Dalam contoh ini, kita 
  bagi 60 dengan 24 dan hasilnya adalah 2 dengan sisa 12.
* Lalu kita bagi bilangan yang lebih kecil (yaitu 24) dengan sisa dari pembagian sebelumnya 
  (yaitu 12). Jadi 24 dibagi 12, kita dapatkan hasilnya 2 dan sisanya 0.
* Karena kita sudah mendapat sisa 0, bilangan terakhir yang kita gunakan untuk membagi 
  adalah FPB nya, yaitu 12.

Marilah kita lihat contoh yang lain, cari FPB dari 40 dan 64.

   * 64 ÷ 40 = 1 dengan sisa 24
   * 40 ÷ 24 = 1 dengan sisa 16
   * 24 ÷ 16 = 1 dengan sisa 8
   * 16 ÷ 8 = 2 dengan sisa 0.
Kita berhenti di sini sebab kita sudah mendapat sisa 0. Bilangan terakhir yang kita gunakan untuk membagi adalah 8, jadi FPB dari 40 dan 64 adalah


2. Bagaimana mencari Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK ) ?
    a. Cara sederhana 
        Mencari KPK dari 12 dan 20:
  • Kelipatan dari 12 = 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, …
  • Kelipatan dari 20 = 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, …
  • KPK dari 12 dan 20 adalah kelipatan sekutu (sama) yang terkecil, yaitu 60. 
      b. Cara faktorial 

          Contoh : mencari KPK dari bilangan 147, 189 dan 231: 

  •   Buat pohon faktor dari masing-masing bilangan:

                147     189     231
                 /\        /\       /\
                3 49    3 63    3 77
                   /\       /\        /\
                  7  7    7  9      7 11
                               /\
                              3  3 
    • Susun bilangan dari pohon faktor utk mendapatkan 
      faktorialnya:
             Faktorial 147 = 31 x 72
             Faktorial 189 = 33 x 71
             Faktorial 231 = 31 x 71 x 111
    • Ambil faktor-faktor yang memiliki pangkat terbesar, dalam hal ini 33, 72 dan 111.
    • Kalikan faktor-faktor tersebut: 33 x 72 x 111 = 14553.
    • Maka KPK dari bilangan 147, 189 dan 231 adalah 14553. Dengan kata lain, tidak ada bilangan yang lebih kecil dari 14553 yang dapat dibagi habis oleh bilangan 147, 189 dan 231.
    Bagaimana teman-teman , ternyata mudah kan?

    0 komentar:

    Poskan Komentar